⚛️ Modül 1 · Fizik Temeli · Bölüm 1.5 · 14 dk okuma

Direnç ve Ohm Yasası

Üç değişken, üç yasa, bir SIDRA crossbar'ı.

Önkoşul

Bu bölümde öğreneceklerin

  • Ohm Yasası V = I·R ve iletkenlik G = 1/R tanımını kullan
  • Kirchhoff akım yasası (KCL) ile bir düğümdeki akımları topla
  • Bir crossbar'da analog matris-vektör çarpımının neden 'bedava' olduğunu açıkla
  • SIDRACHIP'in 256×256 crossbar'ında bir sütun akımını formüle dök

Açılış: En Küçük Denklemle En Büyük Çip

1827’de Georg Simon Ohm sadece bir tel, bir pil ve bir galvanometre ile şunu keşfetti: voltajı ikiye katlarsan akım da ikiye katlanır. Denklem: V=I⋅RV = I \cdot R. Üç harf, bir çarpma.

200 yıl sonra SIDRACHIP’in Y10 çipinde 1.04 trilyon memristör aynı denklemi kullanarak saniyede trilyonlarca çarpma yapıyor. Aynı fizik. Aynı formül. Ölçek değişti.

Bu bölüm, o bir satırlık yasanın neden bütün analog AI hesaplamasının temeli olduğunu gösterir.

Sezgi: Akım = Voltaj × İletkenlik

Direnç RR yerine iletkenlik G=1/RG = 1/R kullanmak çarpma sezgisini netleştirir:

I=V⋅GI = V \cdot G

Bir memristör, programlanabilir bir GG değeri saklar. Üzerine bir VV uygularsın → çıkışta I=V⋅GI = V \cdot G elde edersin. Bir çarpma, bir hücrede, elektrik olarak.

Şimdi iki memristörü aynı çıkış hattına bağla. Kirchhoff akım yasası (KCL) der ki: bir düğüme giren akım, çıkan akıma eşittir. İki memristörün akımları hatta kendi kendine toplanır:

Itoplam=V1G1+V2G2I_{\text{toplam}} = V_1 G_1 + V_2 G_2

256 tane memristör aynı hatta bağlanırsa? Toplam akım, 256 terimlik bir iç çarpım olur. 256 sütun varsa? 256 iç çarpım paralel yürür → bir matris-vektör çarpımı (MVM).

Hiç “taşıma” yok. Hiç “yürüme” yok. Sadece Ohm + Kirchhoff.

Formalizm: Ohm + Kirchhoff → MVM

L1 · Başlangıç

Üç yasa, üç cümle:

  • Ohm: I=V/RI = V/R — akım voltajla orantılı, dirençle ters orantılı.
  • KCL: Bir düğüme giren akımların toplamı, çıkanlara eşittir.
  • KVL: Kapalı bir döngüde voltaj düşümlerinin toplamı sıfırdır.

Sadece bu üç kuralla modern elektroniğin %90’ını kurabilirsin.

L2 · Tam

Bir memristörün iletkenliği G=1/RG = 1/R olsun; üzerindeki voltaj VV, akımı I=V⋅GI = V \cdot G.

NN satırlı, MM sütunlu bir crossbar’da her (i,j)(i,j) kesişimde bir memristör var — iletkenliği GijG_{ij}. Satır ii‘ye voltaj ViV_i uygulanıyor. Sütun jj‘nin ucunda toplam akım (KCL):

Ij=∑i=1NVi⋅GijI_j = \sum_{i=1}^{N} V_i \cdot G_{ij}

Bu doğrudan matris-vektör çarpımının tanımıdır: I=G⊤V\mathbf{I} = \mathbf{G}^\top \mathbf{V}.

Enerji: Tek bir MAC için enerji ∼V⋅I⋅t\sim V \cdot I \cdot t. 256×256’da V=0.1V = 0.1 V, G=1G = 1 µS, t=10t = 10 ns → hücre başına ∼10−17\sim 10^{-17} J = 10 aJ. Dijital 32-bit FMAC’in ~300.000× altında.

Direnç ölçeği: 100 MΩ’dan büyük → akım ölçmek zor (ampimetre gürültüsüne gömülür). 1 kΩ’dan küçük → çok akım, çipin tümü ısınır. SIDRA aralığı: ~10 kΩ – 1 MΩ (G = 1 µS – 100 µS).

L3 · Derin

Lineerlik limiti: Gerçek memristör lineer değildir — düşük voltajda ohmik, yüksek voltajda Schottky/tünelleme kırılımı. Analog MVM lineer rejimde (okuma voltajı Vread∼0.1V_{read} \sim 0.1-0.3 V) çalışır. Program voltajı (∼2\sim 2 V) ayrı yolla verilir.

Sıcaklık bağımlılığı: G(T)=G0exp⁡(−Ea/kT)G(T) = G_0 \exp(-E_a / kT). HfO₂ için Ea∼0.3E_a \sim 0.3 eV. 10°C artış = %10 drift. SIDRA’da periyodik “refresh” + sıcaklık ölçümüyle düzeltilir.

Gürültü kaynakları (Bölüm 5.10’da derin): termal (Johnson-Nyquist), atış (shot), 1/f (flicker), RTN (random telegraph). Her biri I=VGI = VG‘nin çıktısına standart sapma katar. Analog MVM’in doğruluk sınırı budur.

Kolon başına ADC: Analog akımı dijitale çevirmek pahalıdır. SIDRA, TDC (Time-to-Digital Converter) ile 6-bit 3.125 ps çözünürlükte okur — ADC yerine. Akımı kapasitör şarjına çevirir, zamanı ölçer. Güç/alan avantajı 10-30×.

Deney: 3×3 Mini Crossbar

Aşağıdaki mini crossbar’da 3 satır giriş voltajı ve 9 memristör iletkenliği var. Slider’ları oynat; sütun akımlarının hemen formüle uygun şekilde güncellendiğini izle.

Denemeler:

  1. Tüm iletkenlikleri sıfırla (matris detayından), sonra tek bir hücreyi 10 µS yap. Sadece o sütunda akım olmalı.
  2. Tüm V’leri sıfırla, hiçbir akım olmamalı (V = 0 → I = 0).
  3. V₁ = 1.0, diğerleri 0: Sütun akımları yalnız ilk satırın ağırlıklarıyla orantılı olur.
  4. Aynı değerleri kâğıtta çarpıp topla; ekrandaki sayılarla karşılaştır.

Kısa Sınav

1/5Ohm yasası hangi üçlüyü bağlar?

Laboratuvar Görevi: 4×4 MVM

Kâğıt-kalem. Bir 4×4 crossbar’da iletkenlikler (µS):

G=(2130041252031142)G = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & 1 & 2 \\ 5 & 2 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}

Giriş voltajları: V=(0.5,1.0,0.5,0.0)V = (0.5, 1.0, 0.5, 0.0) V.

(a) Sütun 1 akımını hesapla. (b) Tüm sütun akımları vektörünü bul. (c) Bir dijital MAC-toplayıcı aynı işi kaç saat döngüsünde yapardı (tek ALU’da)?

Cevaplar

(a) I1=0.5⋅2+1.0⋅0+0.5⋅5+0.0⋅1=1+0+2.5+0=3.5I_1 = 0.5·2 + 1.0·0 + 0.5·5 + 0.0·1 = 1 + 0 + 2.5 + 0 = 3.5 µA.

(b) I2=0.5⋅1+1.0⋅4+0.5⋅2+0.0⋅1=0.5+4+1+0=5.5I_2 = 0.5·1 + 1.0·4 + 0.5·2 + 0.0·1 = 0.5 + 4 + 1 + 0 = 5.5. I3=0.5⋅3+1.0⋅1+0.5⋅0+0.0⋅4=2.5I_3 = 0.5·3 + 1.0·1 + 0.5·0 + 0.0·4 = 2.5. I4=0.5⋅0+1.0⋅2+0.5⋅3+0.0⋅2=3.5I_4 = 0.5·0 + 1.0·2 + 0.5·3 + 0.0·2 = 3.5. Vektör: (3.5,5.5,2.5,3.5)(3.5, 5.5, 2.5, 3.5) µA.

(c) 4×4 MVM = 16 çarpma + 12 toplama = 28 işlem. Tek-ALU’lu bir CPU’da ~28 saat döngüsü. Crossbar: 1. 28× hızlı, 100× verimli.

Özet Kart

  • Ohm: V=IRV = IR ⟺ I=VGI = VG (G = 1/R, birim: siemens).
  • KCL: düğümde akımlar toplanır (giren = çıkan).
  • Analog MVM: crossbar sütunu → Ij=∑iViGijI_j = \sum_i V_i G_{ij}. Tek saat döngüsünde, analog.
  • Enerji: hücre başına ~10 aJ (dijital FMAC’ten 10⁵× düşük).
  • SIDRA direnç aralığı: ~10 kΩ – 1 MΩ (G = 1-100 µS).
  • Lineerlik limiti: okuma Vread=0.1V_{read} = 0.1-0.3 V; program voltajı ayrıdır (~2 V).
  • Gürültü sınırı: termal, atış, 1/f, RTN — analog doğruluk bunu ipoteğe alır.

Vizyon: Klasik İletimin Ötesi

Ohm yasası 1827’den beri değişmedi; ama yeni iletim rejimleri var:

  • Kuantize iletkenlik: nanotel/nanoteme’de G=n⋅G0G = n \cdot G_0 kuantumlanır (G0=2e2/h≈77.5G_0 = 2e^2/h \approx 77.5 µS). Tek-atom kontakt araştırmaları.
  • Süperiletkenler: sıfır direnç; soğuk (4K) AI hızlandırıcı kuantum-hibrit çözümler için kritik.
  • Topolojik iletim: yüzey elektronları saçılmadan uzun mesafe gider — düşük güç interconnect adayı.
  • Fotonik MVM: Ohm yerine interferenced ışık (Lightmatter). Elektrik hiç kullanmadan çarpma-toplama.
  • Süper-kafes memristör: Moiré yapılarda ayarlanabilir G; SIDRA’ya alternatif analog ağırlık hücresi.
  • Balistik iletim: kanal uzunluğu ortalama serbest yol altında → ohmik olmayan rejim, 2D malzemelerde.
  • Hopping iletimi: amorf oksitlerde lokalize state’ler arasında sıçrama — memristör LRS/HRS gürültü kaynağı.
  • Phonon-drag iletimi: akustik fononlar elektronları sürükler; sıcaklık-alan sensörü olarak kullanılır.

Post-Y10 SIDRA için en büyük lever: fotonik crossbar hibrit — MZI (Mach-Zehnder) veya mikro-halka rezonatör ile MVM, elektrik sadece ağırlık programlama için. Bant genişliği 100×, güç 10× düşer. Lightmatter/Neurophos 2027 ticari hedef.

Daha İleri

  • Bir sonraki bölüm: 1.6 — Kapasitans ve RC Zamanı
  • Önceki: 1.4 — MOSFET
  • Klasik: Hambley, Electrical Engineering — Bölüm 2 “Resistive Circuits”.
  • Crossbar makale: Hu et al., Memristor-based analog computation and neural network classification, Adv. Mater. 2018.